Les transformations de Lorentz.

Les équations de Lorentz.

Au départ, les transformations de Lorentz avaient pour but d'annuler l'effet Doppler dans un référentiel mobile. Par la suite, Lorentz et Poincaré les ont utilisées pour rétablir les coordonnées d'un électron mobile de manière à ce qu'il apparaisse au repos.

Il faut savoir que ces équations sont pratiquement les mêmes que celles de Woldemar Voigt, à l'exception d'une constante dont il n'était d'ailleurs jamais parvenu à préciser la valeur. Il les avait établies vers 1887 dans le but d'annuler l'effet Doppler dans un référentiel en mouvement. Il utilisait pour ce faire les équations de Maxwell. Après analyse on se rend compte que les équations fonctionnent tout aussi bien à l'aide d'un simple graphique montrant un émetteur et des ondes qui en émanent. Il suffit alors de modifier les coordonnées x (y et z demeurant inchangées) et la période t.

Le recours aux équations de Maxwell est donc facultatif. Il devrait même être évité absolument dans un premier temps pour ne pas s'embourber inutilement dans des pièges subtils qui ont conduit presque tout le monde à commettre des dérapages malheureux.

En tout premier lieu, il faut remarquer que les variables x' et t' sont celles du référentiel au repos, ce qui apparaît très dérangeant dès qu'on aborde ces équations. On aurait les idées plus claires si elles s'appliquaient au référentiel en mouvement. Après analyse, on se rend compte que les effets de cette inversion sont bien plus catastrophiques qu'on aurait pu le croire. Sous cette forme, les équations de Lorentz ont pour effet de modifier les coordonnées du temps et de l'espace au lieu de modifier celles d'un émetteur d'ondes ainsi que leur période.

Lorentz lui-même était parfaitement conscient qu'il s'agissait d'un "artifice mathématique" (ce sont ses propres mots). Bien sûr, le fait de modifier les grandeurs x sur un graphique a pour effet de donner des mesures différentes à tout objet qui s'y trouve. Mais cette façon de faire n'est pas la meilleure. Si les dimensions d'un objet sont modifiées, il vaut mieux modifier les dimensions de l'objet lui-même sur le graphique tout en laissant les coordonnées x intactes...

La conclusion qui s'impose sans le moindre doute est celle-ci :

Il faut inverser les équations de Lorentz de manière à ce que les variables x et t s'appliquent au référentiel au repos.

L'effet Doppler en équations.

Les équations de Poincaré sont plus simples que celles de Lorentz parce qu'il pose: c = 1 et bêta = v / c. Je reproduis ici la transposition de M. Christian Marchal où l'on retrouve le facteur gamma et la vitesse normalisée bêta.

Les équations utilisées par Poincaré étaient celles de Voigt, sans la moindre modification.

Poincaré et Lorentz ont trouvé indépendamment que la constante de Voigt (notée l ci-dessus) devait être égale à 1. Dans ce cas, on peut la supprimer tout simplement. De plus, pour améliorer encore simplicité, il vaut mieux utiliser le facteur de contraction g de Lorentz au lieu du facteur gamma, qui vaut l'inverse : gamma = 1 / g.

Si donc nous inversons les formules de manière à ce que les variables x et t s'appliquent au référentiel au repos, nous obtenons :

x' = g x + b t

t' = g t – b x

y' = y z' = z

Exemple : b (bêta) = v / c = 0,5

Le facteur de contraction : g = Sqr(1 – b ^ 2) = 0,866

L'angle des ondes transversales : thêta = arc sin(v / c) = 30°

b = Sin thêta = 0,5

g = Cos thêta = 0,866

Contrairement à celles de Lorentz et de Poincaré, ces équations présentent l'immense avantage de comporter des grandeurs x et x' absolues qui peuvent être reportées dans un unique référentiel cartésien présumé au repos dans l'éther. Il ne sera donc jamais question ici d'un référentiel galiléen. De plus, toutes les notions de temps, d'espace et de vitesse deviennent absolues si elles sont déterminées par convention.

Les grandeurs x et x' sont exprimées en secondes-lumière. Les grandeurs t sont exprimées en secondes. Il faut souligner que les grandeurs t' représentent l'heure que les horloges mobiles affichent en secondes plus lentes, donc inexactes puisque seules les horloges réputées au repos affichent le "vrai temps" tel que le concevait Lorentz. Dans le cas d'un émetteur d'ondes, les grandeurs sont plutôt exprimées en longueurs d'onde et en périodes d'onde, t = 1 correspondant donc à 2 * pi. Alors on obtient un effet Doppler qui se caractérise par une fréquence plus lente.

Ces nouvelles équations sont bien plus transparentes quant à leurs effets, d'autant plus qu'elles indiquent bel et bien ce que Lorentz avait à l'esprit lorsqu'il a présenté sa théorie dans son mémoire de 1904. Voyez plutôt :

x' = g x + b t

1 – La matière se contracte selon : g x. La distance convenue entre A et A' montrés ci-dessous étant de 10 secondes-lumière, celle que B et B' respectent à leur insu selon la même convention est plutôt de 8,66 secondes-lumière à cause d'une erreur dans leurs mesures. Les carrés faisant 8 secondes-lumière de côté se contractent en rectangles mesurant plutôt 8 x 6,9 secondes-lumière. De même, les cercles deviennent des ellipses aplaties. Pour des raisons mécaniques, la contraction s'applique également aux espaces vides d'un système matériel complexe. En particulier, c'est à cause de cette contraction que l'interféromètre de Michelson devient incapable de mesurer notre vitesse à travers l'éther.

2 – Le point situé en g x passe en g x + b t puisqu'il se déplace à la vitesse de 0,5 c. Il s'agit tout simplement d'un mouvement de translation, connu en physique sous le nom de "Transformation de Galilée" et conduisant à son "Principe de Relativité". En inversant l'équation originale de la même manière qu'on l'a fait ci-dessus, on obtient : x' = x + v t au lieu de x' = x – v t.

t' = g t – b x

3 – Les horloges affichent des heures plus lentes selon : t' = g t. Ci-dessous, puisque g = 0,866, les horloges de B et de B' affichent 8,66 secondes après un délai réel de 10 secondes (0,866 * 10 = 8,66).

4 – Les horloges présentent un décalage horaire qui correspond à : – b x. Ci-dessous, l'horloge de B' est située à l'avant de celle de B. Elle est donc en retard de 5 secondes exactement sur elle, soit selon : – 0,5 * 10 puisque b (bêta) = 0,5. Il faut préciser que dans le cas de B', on a : x = 10 secondes-lumière (on a plutôt : x = 0 dans le cas de B).

Sachant cela, on peut finalement examiner comment réagiront les observateurs A et B. Commençons par le moment où ils se rencontrent sur la même coordonnée x = 0.

Les observateurs A et B sont en mesure de synchroniser leurs horloges selon t = t' = 0 car ils sont sur la même coordonnée x = 0.

Puis l'observateur B' tente de synchroniser son horloge sur celle de B. Mais la procédure aboutit à un décalage horaire de – 5 sec.

B et B' tentent de maintenir une distance de 10 secondes-lumière. Mais la procédure aboutit à une distance de 8,66 secondes-lumière.

Voyons maintenant comment la situation aura évolué après un délai de 20 secondes.

La vitesse de l'observateur B étant de 0,5 c, il croise A' exactement au point : x = 10 secondes-lumière.

L'horloge de B fonctionnant plus lentement, elle affiche seulement : g * t = 17,32 secondes lentes au lieu de 20 secondes absolues.

L'observateur B n'a pas conscience que son environnement est contracté. De plus, il croit que A et A' se déplacent vers la gauche.

B pense que l'horloge de A fonctionne plus lentement puisqu'il constate à tort qu'elle affiche maintenant g * 17.32 = 15 secondes.

Étant parvenu à sa hauteur, B observe que l'horloge de A' présente un décalage horaire de + 5 secondes sur celle de A (15 + 5 = 20).

L'horloge de B affiche 17,3 secondes et c'est normal selon lui car la distance entre A et A' lui semble être de 8,66 secondes-lumières.

L'observateur B en vient à la conclusion qu'il est au repos et que ce sont plutôt A et A' qui se déplacent vers la gauche à 0,5 c.

Ses mesures étant exactes, l'observateur A en vient bien sûr à la conclusion qu'il est au repos, B et B' étant en mouvement.

En définitive, personne ne peut savoir lequel des deux se déplace vraiment.

La Relativité de Lorentz, c'est ça.

Pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ?

Si vous avez besoin d'autres images pour vérifier ces résultats plus à fond, voici le programme que j'ai écrit pour les obtenir :

WaveMechanics07a.bas WaveMechanics07a.exe

Si vous avez des doutes à propos de mes équations, et c'est bien légitime, rappelons comment Henri Poincaré était parvenu à simplifier les équations de Lorentz, qui on le sait avaient été empruntées à Woldemar Voigt :

Ci-dessus, une copie du texte où Poincaré simplifie les équations de Lorentz et où la constante de Voigt l est toujours présente.

Ci-dessus, la transposition de M. Christian Marchal où l'on retrouve le facteur gamma et la vitesse normalisée bêta.

Les formules originales de Lorentz apparaissent bien plus obscures en comparaison.

Selon Lorentz, on a bien :

x' = (x – v t) / g.

Mais Poincaré préférait utiliser la vitesse bêta et le facteur gamma :

x' = gamma (x – b t)

Si donc l'inconnue est plutôt x, il faut faire :

x = x' / gamma + b t

Remplaçons ensuite le facteur gamma qui vaut 1 / g par le facteur de contraction g :

x = g x' + b t

Et enfin, puisqu'il vaut mieux attribuer la variable x au référentiel réputé au repos, permutons x et x' :

x' = g x + b t

C'était donc le fait d'utiliser le temps t du référentiel au repos avec la coordonnée x' du référentiel mobile qui provoquait cette "transformation de l'espace-temps" aussi inutile que ridicule. En effet, une simple permutation de variables effectuée correctement ne peut pas provoquer un tel bouleversement : elle permet seulement de retrouver la grandeur des variables originales.

Les formules inversées indiquent maintenant des résultats conformes à la pensée de Lorentz. Par exemple, après un délai de 20 secondes et en se référant au point x = 10 secondes-lumière, la vitesse normalisée bêta correspondant à la moitié de la vitesse de la lumière, on obtient pour B' :

x' = g x + b t = (0,866 * 10) + (0,5 * 20) = 18,66 secondes-lumière.

t' = g t – b x = (0,866 * 20) – (0,5 * 10) = 12,32 secondes.

Ce qui est remarquable, comme l'a démontré Poincaré, c'est qu'il suffit d'échanger les variables (x, x'; t, t') et le signe (– au lieu de +) pour retrouver la coordonnée x et le temps t initiaux :

x = g x' – b t' = 10 secondes-lumière.

t = g t' + b x' = 20 secondes.

Pourtant, la forme retenue par Lorentz fonctionne aussi, sachant qu'on a permuté x et x' (on a donc t et non t'):

x = (x' – b t) / g = 10 secondes-lumière.

J'insiste sur le fait que ces équations ont aussi la propriété de produire un effet Doppler, ou de l'annuler si elles sont inversées. Dans ce cas, les coordonnées cartésiennes x, y et z doivent s'exprimer en longueurs d'onde et le "temps" t, en périodes d'onde. Ainsi donc, ce ne sont pas l'espace et le temps qu'on modifie en pratique, ce sont la longueur et la période des ondes. C'était d'ailleurs l'intention initiale de Voigt en 1887. Mais ses équations, reprises par Lorentz, présentaient des défauts en plus d'être imprécises à cause de la constante, que Lorentz a pu éliminer après l'avoir trouvée égale à 1. Il n'était pas vraiment nécessaire de modifier "l'espace-temps". C'était même à éviter absolument. Et enfin, le signe est négatif dans les deux équations de Lorentz alors que l'ordinateur indique qu'il doit être positif dans l'équation x et négatif dans l'équation t. Mais c'est sans importance car il s'agit sans doute simplement d'une convention différente applicable aux équations de Maxwell.

J'ai aussi découvert que si l'on désire conserver la constante de Voigt, elle doit se trouver au numérateur dans l'équation x' et au dénominateur dans l'équation t'. Il s'agit là d'une erreur grave qu'on n'a jamais remarquée puisque cette constante fut éliminée. Il en ressort que les équations originales de Voigt (1887) comportaient pas moins de deux erreurs, sans compter une imprécision (la constante) et une anomalie (le signe). Correction faite, on obtient ceci :

Les transformations de Woldemar Voigt revues et corrigées.

Elles demeurent utiles car elles permettent d'obtenir de corriger un effet Doppler à fréquence variable.

Dans le cas de l'effet Doppler normal, la constante k est égale à g de manière à maintenir la même fréquence.

Dans le cas de la lumière et des ondes qui composent la matière, la constante k est égale à 1 de manière à ralentir la fréquence.

Cela signifie que, dès qu'on est en présence d'un effet Doppler impliquant la lumière ou les ondes radio, par exemple celles qui sont émises par un satellite, il s'agit en soi d'un "effet relativiste". En effet, un observateur posté dans ce satellite ne verra aucun effet Doppler dans les ondes qu'il émet parce que tout son environnement se transforme de manière à compenser. Ainsi donc, les transformations de Lorentz ne représentent rien d'autre qu'un effet Doppler particulier impliquant un ralentissement de la fréquence de l'électron ou de tout autre émetteur selon le facteur g. J'ai écrit un programme FreeBasic qui le montre d'une manière indiscutable :

Doppler_Voigt_transformations.bas Doppler _Voigt_transformations.exe

Vous pouvez même modifier la valeur de la constante de Voigt en appuyant sur A, B, C ou D au choix. L'absence de contraction sur les axes y ou z est évidente lorsque k = 1. En effet, selon Lorentz, on a y' = y; z' = z. Alors on constate que la fréquence de l'émetteur diminue selon le facteur g. Vous pouvez vérifier dans le code source (le fichier .bas ci-dessus) que j'utilise bel et bien les équations (corrigées et inversées) de Voigt indiquées ci-dessus.

C'est pourquoi je propose de remplacer les équations de Lorentz par celles-ci, qui s'inspirent de celles de Henri Poincaré :

Le groupe complet des transformations de Lorentz, revu et corrigé.

Qu'on ne s'y trompe pas, ces équations produisent des résultats différents.

En particulier, les variables x et x' s'appliquent au même référentiel cartésien réputé au repos dans l'éther.

Toutefois, les grandeurs obtenues correspondent bel et bien à ce que Lorentz, Poincaré et Einstein ont tous proposé.

En effet, même Albert Einstein prévoyait qu'un objet mobile devrait nous apparaître plus court, soit selon g x ci-dessus.

Il devrait aussi sembler se déplacer conformément à : + bêta * t.

Et enfin, tous s'entendent pour affirmer que le "temps" ralentit selon : g * t.

On peut donc s'étonner que personne depuis un siècle n'ait proposé ces formules...

La loi de l'addition des vitesses de Poincaré.

Selon Lorentz, l'inertie augmente avec la vitesse de telle sorte que la vitesse de la lumière devient une limite infranchissable. Dans ces conditions, le fait pour un observateur d'accélérer à la moitié de la vitesse de la lumière alors qu'il se déplace déjà à la moitié de la vitesse de la lumière du point de vue d'un deuxième observateur ne peut pas se traduire selon ce dernier par une simple addition des vitesses puisqu'on aboutit alors à la vitesse de la lumière. Ce pourrait même être pratiquement le double puisque la vitesse d'un objet peut approcher celle de la lumière. Il doit donc exister une loi de l'addition des vitesses qui respecte les transformations de Lorentz.

Sachant cela, Henri Poincaré a élaboré la formule suivante :

bêta'' = (bêta + bêta') / (1 + bêta * bêta')

Dans l'exemple ci-dessus, deux fois la moitié de la vitesse de la lumière équivaut à 80% de la vitesse de la lumière.

S'il faut additionner bêta = 0,1 à bêta' = 0,2 on obtient bêta'' = 0,294 et non pas bêta'' = 3. Mais soyons clairs. Cela signifierait par exemple que le pilote d'une fusée spatiale qui se déplace déjà selon nous sur Terre à bêta = 0,1 entreprend d'accélérer à bêta' = 0,2. On sait que selon la Relativité il se considère au repos. S'il réussit son exploit, il considérera donc qu'il se déplace maintenant à bêta' = 0,2 alors que selon nous il aura accéléré sa vitesse de bêta' = 0,1 à bêta'' = 0,294.

Mais pour être parfaitement logique, ce pilote devrait considérer que, puisqu'il est parti de la Terre et qu'il a déjà ressenti les effets de l'accélération qui l'a d'abord propulsé à 10% de la vitesse de la lumière, il n'était plus en droit de se considérer toujours au repos. C'est donc le point de vue d'un observateur sur Terre qui prime sur le sien, d'où l'utilité d'établir par convention un référentiel privilégié. Encore une fois, la Relativité de Lorentz se révèle ici supérieure à celle d'Einstein, celle-ci étant incapable de concilier ces trois référentiels distincts (il y a bien trois vitesses qui entrent en ligne de compte) à cause de son inévitable réciprocité.

Le Scanner du Temps fait mieux encore.

Voici une vidéo plus complète qui devrait vous intéresser au plus haut point. Elle contient tous les éléments qui permettent de démontrer que la version de la Relativité proposée par Lorentz en 1904 était correcte :

Time_Scanner.mkv

Il s'agit d'une vidéo .mkv (Matroska) réalisée en haute définition (1280x720) grâce au codec Mpeg-4 de DivX selon le standard H-264 maintenant incontournable. Si elle ne s'affiche pas correctement, vous pouvez télécharger toute la série des codecs possibles et imaginables gratuitement chez CCCP (un clin d'œil à l'ancienne URSS), la version gratuite de Zoom Player incluse. Et voici le programme FreeBasic qui a produit cette animation:

WaveMechanics07.bas

Avouez que mon Scanner du Temps est l'outil idéal pour montrer comment l'observateur B voit les choses de son propre point de vue, c'est à dire en postulant qu'il est au repos. Il réalise donc ici la même chose que les équations proposées par Lorentz et Poincaré, à savoir remettre l'électron mobile dans un repère au repos. On voit aussi qu'il est possible de montrer un nombre illimité de référentiels, ce que la Relativité d'Einstein est incapable de faire à cause des mesures incompatibles. On voit encore que la règle graduée rouge ne subit aucune transformation de longueur. Cela démontre qu'il est ridicule d'invoquer une transformation de l'espace puisqu'elle ne s'applique pas dans certains cas.

Soyons clairs, l'espace et le temps ne se transforment pas. C'est la matière qui se contracte, et ce sont tous les mécanismes, y compris celui des horloges, qui fonctionnent plus lentement.

Et enfin, cette animation montre hors de tout doute qu'il s'agit bien de l'effet Doppler, car j'ai obtenu ce résultat sur les ondes produites par les deux émetteurs mobiles en utilisant purement et simplement mes équations montrées plus haut, ou encore à l'aide de mon Scanner du Temps.

Il se dégage de cette vidéo une magnifique harmonie qui ne devrait laisser personne insensible.

Il n'y a plus de paradoxes. Tout devient clair et logique.

Non seulement Lorentz avait raison, mais désormais la Relativité s'explique.